Ultimátní průvodce na přijímačky

🧠 Základy matematické logiky

Logika pracuje s tvrzeními, která jsou buď pravdivá (1) nebo nepravdivá (0). Spojuje je pomocí operátorů:

📋 Co je algoritmus

Správný algoritmus má tyto vlastnosti:

• Konečnost – jednou skončí (nesmí běžet do nekonečna).
• Determinovanost – v každém kroku je jasné, co dělat dál.
• Hromadnost – funguje pro celou třídu vstupů, ne jen pro jeden.
• Vstup a výstup – něco dostane, něco vrátí.

Tři základní stavební kameny (algoritmické konstrukce)

• Sekvence – kroky jdou po sobě.
• Větvení / podmínka – if … else … (rozhodnutí).
• Cyklus – for, while (opakování).

Zapsat se dá slovně, vývojovým diagramem, pseudokódem nebo přímo v programovacím jazyce.

⏱️ Výpočetní složitost (Big-O)

Časová složitost říká, jak rychle roste počet kroků algoritmu, když roste velikost vstupu n. Zapisuje se jako O(...) – „nejtěsnější horní odhad v nejhorším případě“.

🌳 Binární vyhledávací strom (BST)

Binární strom = každý uzel má max. dva potomky (levý, pravý). U vyhledávacího (BST) navíc platí pravidlo:

Díky tomu při hledání/vkládání jdeme od kořene a v každém uzlu se rozhodneme vlevo/vpravo – nikdy nemusíme procházet celý strom.

• Kořen = úplně horní uzel. List = uzel bez potomků.
• Výška stromu = počet hran nejdelší cesty z kořene do nejvzdálenějšího listu. (Pozor: hran, ne uzlů!)
• Vkládání: jdeme od kořene, porovnáváme. Menší → doleva, větší → doprava. Když narazíme na prázdné místo, tam vložíme.

✅ Řešený příklad 1 – Výška stromu po vložení

Výchozí strom:

        9
      /   \
     4     16
    / \      \
   1   8      18

Provedeme insert(root, 17) a insert(root, 20).

Vkládáme 17: 17 > 9 → doprava k 16. 17 > 16 → doprava k 18. 17 < 18 → doleva. → 17 je levý potomek 18.

Vkládáme 20: 20 > 9 → 16. 20 > 16 → 18. 20 > 18 → doprava. → 20 je pravý potomek 18.

        9
      /   \
     4     16
    / \      \
   1   8      18
             /  \
           17    20

Nejdelší cesta: 9 → 16 → 18 → 17 = 3 hrany.

✅ Řešený příklad 2 – Složitost funkce

def func(arr, target):
    s = 0
    for i in range(len(arr)):      # cyklus přes n prvků
        if arr[i] == target:
            for j in range(i + 1): # vnitřní cyklus...
                s = s + arr[j]
            return s               # ...ale hned poté RETURN!
    return s

Na první pohled to vypadá na O(n²) (dva cykly). Ale: vnitřní cyklus se spustí jen jednou, protože hned po něm je return – funkce skončí. V nejhorším případě (target je poslední prvek) projdeme vnější cyklus n-krát a vnitřní jednou n-krát. To je n + n = O(n).

🔣 Bikonditional, XOR, tautologie, kontradikce

Dva operátory navíc, které se v testech občas objeví:

• Tautologie = výrok pravdivý za všech okolností. Příklad: A ∨ ¬A (buď prší nebo neprší – vždy pravda).
• Kontradikce = výrok vždy nepravdivý. Příklad: A ∧ ¬A (prší a zároveň neprší).

📊 Vývojový diagram – symboly + rekurze

🔍 White-box vs black-box

XAI (Explainable AI) = nástroje a metody, které dělají i black-box modely srozumitelnými.

📊 Klíčové pojmy

🛍️ Bag of Words (BoW)

„Pytel slov“ – text převedeme na vektor, který říká, kolikrát se každé slovo vyskytlo. Pořadí slov se ignoruje.

Příklad slovník: [clovek, kouse, pes]

• „pes kouse clovek“ → (1, 1, 1)
• „clovek kouse pes“ → (1, 1, 1)

⚖️ TF-IDF a embeddings

TF-IDF

Vylepšení BoW. Slovu dá váhu podle dvou věcí:

• TF (term frequency) – jak často je slovo v daném dokumentu (čím víc, tím důležitější).
• IDF (inverse document frequency) – jak vzácné je napříč všemi dokumenty. Slova jako „a“, „je“ jsou všude → mají malou váhu. Vzácná slova → velkou.

Výsledek: zvýrazní slova typická pro daný dokument a potlačí běžná slova.

Embeddings (vektorová vnoření)

Moderní přístup. Slova/věty převede na vektory tak, aby podobná slova měla podobné vektory (např. „pes“ a „kočka“ blízko sebe). Na rozdíl od BoW zachycuje význam, ne jen výskyt.

📐 Kosinová podobnost

Měří, jak podobné jsou dva vektory – podle úhlu mezi nimi (ne podle délky). Hodnoty od −1 do 1; 1 = stejný směr, 0 = kolmé (nesouvisí).

Vzorec: cos(θ) = (d1 · d2) / (|d1| · |d2|)

• d1 · d2 (skalární součin) = sečteme součiny odpovídajících složek.
• |d| (délka/norma) = odmocnina ze součtu druhých mocnin složek.

✅ Řešený příklad – Kosinová podobnost

d1 = (1, 1, 0),   d2 = (1, 0, 1)

Skalární součin: 1·1 + 1·0 + 0·1 = 1

Délky: |d1| = √(1+1+0) = √2,   |d2| = √(1+0+1) = √2

Dosadíme: cos(θ) = 1 / (√2 · √2) = 1 / 2 = 0,5

🔧 Předzpracování textu (NLP pipeline)

Před převodem textu na vektor se text obvykle „vyčistí". Typický postup:

🔍 Modely vyhledávání a hodnocení relevance

🧩 Objektově orientované programování (OOP)

Program skládáme z objektů, které mají data (vlastnosti) i chování (metody). Čtyři pilíře:

⚙️ OOP vs procedurální programování

📦 Datové typy, struktury a konstrukce

Základní datové typy

• int – celé číslo, float – desetinné, bool – pravda/nepravda, string – text.

Datové struktury

• Pole / seznam (list) – uspořádaná řada prvků.
• Slovník (dictionary / mapa) – dvojice klíč → hodnota.
• Množina (set) – kolekce bez duplicit.

Základní konstrukce

• Podmínka (if/else) – rozhodování.
• Cyklus (for, while) – opakování. Když potřebuješ projít všechny prvky seznamu, použiješ cyklus.
• Výjimka (exception) – ošetření chyby za běhu (try/except), aby program nespadl.

🔌 Rozhraní (Interface) a abstrakce

📚 Další datové struktury

🔄 Vývojové metodiky a testování

Druhy testů

• Jednotkové (unit) – testují malou část (funkci) izolovaně.
• Integrační – testují, jak spolu části fungují dohromady.
• Systémové / akceptační – testují celou aplikaci z pohledu uživatele.

🏛️ Architektonické a návrhové vzory

Architektury

• Vícevrstvá – oddělené vrstvy (prezentace / logika / data).
• Klient–server – klient se ptá, server odpovídá.
• Microservices – aplikace rozdělená na malé nezávislé služby.

Návrhové vzory

• MVC (Model-View-Controller) – odděluje data (Model), zobrazení (View) a řízení (Controller).
• Observer – objekty se „přihlásí k odběru“ a dostanou upozornění, když se něco změní.
• Singleton – zajistí, že existuje jen jedna jediná instance třídy (např. jedno připojení k DB).

🌿 Git – správa verzí

Git ukládá historii změn v kódu a umožňuje práci ve více lidech. Klíčové pojmy:

🚀 CI/CD a Docker

🌐 REST API a HTTP metody

HTTP stavové kódy: 200 OK · 201 Created · 400 Bad Request · 401 Unauthorized · 404 Not Found · 500 Internal Server Error.

🧪 TDD a SOLID principy

Zkratka SOLID – pět principů dobrého OOP návrhu:

• Single Responsibility – třída dělá jednu věc.
• Open/Closed – otevřená pro rozšíření, uzavřená pro změny.
• Liskov Substitution – potomka lze použít místo rodiče.
• Interface Segregation – malá rozhraní místo jednoho obřího.
• Dependency Inversion – záviset na abstrakcích, ne konkrétních třídách.

🗄️ Relační vs NoSQL

Strukturovaná data = tabulky (jasné sloupce). Nestrukturovaná = text, obrázky, videa.

🔗 Návrh databáze a vztahy (kardinalita)

Při návrhu kreslíme entity (tabulky) a vztahy mezi nimi. Kardinalita říká, kolik kusů se k sobě váže:

• 1:1 – jeden ku jednomu.
• 1:N – jeden ku mnoha (jeden zákazník má mnoho rezervací).
• M:N – mnoho ku mnoha (jedna rezervace má více služeb a jedna služba je ve více rezervacích).

💬 SQL základy

SELECT sloupce        -- co chci vrátit
FROM tabulka          -- odkud
JOIN tabulka2 ON ...  -- propojení tabulek
WHERE podmínka        -- filtr řádků
GROUP BY sloupec      -- seskupení
ORDER BY sloupec;     -- řazení

• JOIN spojí řádky z více tabulek podle klíče.
• LEFT JOIN – vezme všechny řádky z levé tabulky, i když k nim vpravo nic není (např. i čtenáře s 0 výpůjčkami).
• COUNT(...) spočítá řádky; GROUP BY seskupí (např. po čtenářích), aby COUNT počítal pro každou skupinu zvlášť.

✅ Řešený příklad – SQL dotaz

Chceme jména a id čtenářů + počet jejich výpůjček (i ty s nulou).

SELECT readers.id, readers.name, COUNT(loans.id)
FROM readers
LEFT JOIN loans ON readers.id = loans.reader
GROUP BY readers.name, readers.id;

Proč právě tento:

• LEFT JOIN – aby se objevili i čtenáři bez výpůjček.
• spojení přes správný sloupec loans.reader = readers.id.
• GROUP BY podle čtenáře, aby COUNT počítal výpůjčky pro každého zvlášť.

📐 Normalizace databáze (1NF, 2NF, 3NF)

Normalizace = návrh tabulek tak, aby se minimalizovaly redundance a anomálie při vkládání/mazání dat.

🔒 ACID vlastnosti transakcí

Transakce = skupina operací, která se buď celá provede, nebo vůbec. ACID zaručuje spolehlivost:

• Atomicity – buď vše, nebo nic (převod peněz: sníží i zvýší, nebo ani jedno).
• Consistency – DB přejde z jednoho platného stavu do druhého (integritní omezení se nikdy neporuší).
• Isolation – souběžné transakce se navzájem neovlivní.
• Durability – po potvrzení (COMMIT) jsou data uložena trvale i při výpadku.

💬 SQL – HAVING, poddotaz, agregace

-- HAVING = filtr PO GROUP BY (pro agregáty)
SELECT reader_id, COUNT(*) AS pocet
FROM loans
GROUP BY reader_id
HAVING COUNT(*) > 3;    -- jen čtenáři s více než 3 výpůjčkami

-- Poddotaz (subquery)
SELECT name FROM readers
WHERE id IN (SELECT reader_id FROM loans WHERE fine > 0);

-- Agregační funkce
SELECT AVG(price), SUM(price), MAX(price), MIN(price) FROM books;

📄 Datové formáty: JSON, XML, CSV

{"name": "Jan",
 "age": 25,
 "books": [1, 3]}

<user>
  <name>Jan</name>
  <age>25</age>
</user>

CSV = tabulkový formát oddělený čárkami (import/export dat). Parquet = sloupcový binární formát pro big data (efektivní komprese).

NoSQL typy podrobněji: Dokumentové (MongoDB – JSON dokumenty) · Klíč–hodnota (Redis – cache) · Sloupcové (Cassandra) · Grafové (Neo4j – vztahy mezi entitami).

🎓 Co je „s učitelem“

• Klasifikace – výstupem je třída/kategorie (spam / ne-spam).
• Regrese – výstupem je číslo (cena bytu).

📏 Perceptron a lineární separabilita

Perceptron je nejjednodušší model – hledá přímku (nadrovinu), která oddělí dvě třídy. Funguje jen tehdy, když lze třídy oddělit jednou přímkou (jsou lineárně separabilní).

✅ Řešený příklad – Perceptron

třída +1: (0,0) a (2,2)  |  třída −1: (0,2) a (2,0)

Body +1 leží na jedné úhlopříčce, body −1 na druhé – přesně vzor XOR. Žádná přímka je neoddělí.

👥 K-nearest neighbours (K-NN)

„Řekni mi, kdo jsou tvoji sousedé, a já ti řeknu, kdo jsi.“ Nový bod zařadíme podle k nejbližších trénovacích bodů – hlasováním většiny.

• k = 1 → rozhoduje jediný nejbližší soused.
• k = 3 → podívám se na 3 nejbližší a vyhrává většina.
• Vzdálenost často L1 (manhattanská) = součet absolutních rozdílů, nebo L2 (eukleidovská).

✅ Řešený příklad – K-NN

Trénink: třída A na bodě 0; třída B na bodech 2, 3, 4. Klasifikujeme bod 0,5 (L1 vzdálenost).

Vzdálenosti: k A(0) = 0,5; k B(2) = 1,5; k B(3) = 2,5; k B(4) = 3,5.

k = 1: nejbližší je A (0,5) → A.

k = 3: tři nejbližší jsou A(0,5), B(1,5), B(2,5) → třídy A, B, B → většina B.

🌲 Rozhodovací stromy a lesy

Rozhodovací strom rozhoduje sérií otázek ano/ne („docházka ≤ 71 %?“). V každém uzlu si vybere otázku, která data nejlépe rozdělí na třídy.

• Entropie měří „nepořádek“. Entropie 1 = půl na půl (max. nejistota), entropie 0 = čistá skupina (jedna třída).
• Kořen stromu = otázka, která přináší nejlepší rozdělení hned v prvním kroku.
• Random forest (náhodný les) = mnoho stromů hlasuje dohromady → přesnější a stabilnější (ale méně vysvětlitelný – black-box).

✅ Řešený příklad – Rozhodovací strom

Strom má v kořeni otázku docházka ≤ 71 (entropie 1.0, value [6,6] = půl na půl). To znamená, že docházka je nejdůležitější dělicí znak – proto je v kořeni.

Pozor na nesprávné možnosti: docházku nelze vždy vykompenzovat studiem (větev s nízkou docházkou končí „neuspěl“), a vysoká docházka negarantuje úspěch (záleží i na hodinách studia).

📈 Logistická regrese – jak to funguje

Navzdory názvu je to klasifikační metoda. Vrací pravděpodobnost (0–1) pomocí sigmoid (logistické) funkce:

P(y=1|X) = 1 / (1 + e^(-z))    kde  z = b0 + b1·X1 + b2·X2 + ...

• Výstup je vždy mezi 0 a 1 (pravděpodobnost).
• Decision boundary: pokud P > 0,5 → třída 1, jinak 0. Práh lze měnit.
• Koeficienty se odhadují maximalizací věrohodnosti (MLE), ne metodou nejmenších čtverců.

⚖️ Bias-Variance tradeoff (přeučení vs podučení)

🎰 Bagging vs Boosting (souborové metody)

🧪 Co je „bez učitele“

🎯 Shlukování (clustering)

🛒 Asociační pravidla

Hledají, co se kupuje společně: „kdo koupí chleba, koupí i máslo“. Pravidlo {chleba} → {máslo} se hodnotí dvěma mírami:

✅ Řešený příklad – Asociační pravidla

10 košíků. Chleba v 6 košících. Chleba i máslo zároveň ve 3 košících. Pravidlo {chleba} → {máslo}:

Support = 3 / 10 = 30 % (chleba i máslo ze všech košíků).

Confidence = 3 / 6 = 50 % (z košíků s chlebem mělo i máslo).

📏 Výběr k pro k-means: Elbow metoda

Jak zvolit správný počet shluků k?

1. Spusť k-means pro k = 1, 2, 3, …
2. Pro každé k spočítej WCSS (součet čtverců vzdáleností bodů od středu jejich shluku).
3. Vykresli WCSS vs k. Křivka klesá – kde se „zalomí jako loket" = optimální k.

🌲 Hierarchické shlukování – linkage a dendrogram

Jak měřit vzdálenost mezi shluky (linkage metody)?

📈 Lift a Apriori algoritmus

Příklad: confidence = 50 %, P(máslo) = 40 % → lift = 0,5 / 0,4 = 1,25 → mírná pozitivní asociace.

🟩 Matice záměn (confusion matrix)

Tabulka, která porovnává předpověď modelu se skutečností u binární klasifikace:

🎯 Metriky: accuracy, precision, recall, F1

ROC křivka ukazuje poměr zachycených vs. falešných poplachů při různých prazích. AUC (plocha pod křivkou) shrne kvalitu jedním číslem: 1 = perfektní, 0,5 = náhoda.

🔁 Train/test split a křížová validace

• Rozdělení dat – část na trénink, část na test (model se nesmí testovat na datech, na kterých se učil).
• Overfitting (přeučení) – model umí trénink nazpaměť, ale na nových datech selhává. Underfitting – moc jednoduchý, neumí ani trénink.

⚠️ Nevyvážené třídy (Class Imbalance)

Problém: 990 negativních a 10 pozitivních případů. Model, který vždy odpoví „negativní", má accuracy 99 %, ale je k ničemu.

Techniky:

• Oversampling – přidáme kopie menšinové třídy (SMOTE: syntetické vzorky).
• Undersampling – odebereme případy z majoritní třídy.
• Vážení tříd – modelu řekneme, aby chyby na menšinové třídě penalizoval víc (class_weight='balanced').

🎛️ Kdy preferovat Precision vs Recall

🔬 Train / Validation / Test rozdělení

• Trénovací – na tom se model učí.
• Validační – na tom ladíme hyperparametry (k v K-NN, hloubka stromu…). Model ho „vidí" nepřímo.
• Testovací – evaluace úplně na závěr, jen jednou. Na testovacích datech nikdy neladíme!

📉 Co to je

Hledáme vztah, kde výsledek (závislá proměnná Y) závisí lineárně na vstupech (X):

Y = b0 + b1·X1 + b2·X2 + ...

• b0 = intercept (konstanta) – hodnota Y, když jsou všechna X = 0.
• b1, b2… = koeficienty (sklony) – o kolik se změní Y, když dané X vzroste o 1 (ostatní beze změny).

Metoda nejmenších čtverců (OLS)

Odhadne koeficienty tak, aby součet druhých mocnin odchylek (rozdílů mezi skutečností a předpovědí) byl co nejmenší – přímka „nejlépe sedne“ na body.

🏷️ Interpretace koeficientů a dummy proměnné

Dummy (binární) proměnná nabývá jen 0 nebo 1 a kóduje kategorii. Např. dům = 1 pro dům, 0 pro byt → byt je referenční kategorie. Koeficient u dummy říká rozdíl oproti referenční kategorii.

✅ Řešený příklad – Interpretace regrese

Model (cena v tisících Kč): cena = 10 + 100·plocha + 2000·dům

Koeficient u dům je 2000 tisíc Kč = 2 miliony Kč. To je rozdíl oproti bytu (referenční kategorie) při stejné ploše.

→ Při stejné ploše je dům o 2 miliony Kč dražší než byt.

Proč ne ostatní: intercept 10 není průměrná cena bytu (to by musela být plocha 0); +100 m² zvýší cenu o 100·100 = 10 000 tisíc = 10 milionů, ne o tisíc.

📐 Předpoklady a testování hypotéz

Předpoklady klasického modelu (zhruba)

• Linearita – vztah je opravdu lineární.
• Nezávislost a konstantní rozptyl chyb (homoskedasticita).
• Chyby mají normální rozdělení a nulový průměr.
• Vstupy nejsou navzájem silně závislé (žádná multikolinearita).

Testování hypotéz

U každého koeficientu testujeme, zda je významně různý od nuly (t-test). p-hodnota < 0,05 obvykle znamená, že proměnná má statisticky významný vliv. Velká p-hodnota → vliv neprokázán.

📊 R² – koeficient determinace

R² = 1 - (SS_res / SS_tot)
SS_res = Σ(yi − ŷi)²    (reziduály – nevysvětlená variabilita)
SS_tot = Σ(yi − ȳ)²     (celková variabilita kolem průměru)

• R² = 1 → model vysvětluje vše (perfektní fit).
• R² = 0 → model není lepší než průměr.
• R² = 0,85 → model vysvětluje 85 % variability Y.

🔬 F-test a reziduální analýza

Reziduál = skutečná hodnota − předpověď. Analýza reziduálů ověřuje předpoklady:

• Normalita – histogram nebo QQ-plot by měl být přibližně normální.
• Homoskedasticita – rozptyl reziduálů konstantní přes celý rozsah (plot reziduál vs. fitted values = rovnoměrný mrak bez trychtýřového tvaru).
• Žádná autokorelace – reziduály na sobě nezávisí (Durbin-Watson test).